ریاضی چیست؟

یک نوجوان این س ageال قدیمی را در TikTok پرسید ، واکنش منفی ویروسی ایجاد کرد و سپس ، یک بحث علمی متفکرانه

همه چیز با یک ویدیوی بی ضرر TikTok شروع شد که توسط یک دانش آموز دبیرستانی به نام گرسی کانینگهام ارسال شده بود. این نوجوان با استفاده از آرایش هنگام صحبت با دوربین ، این سوال را مطرح کرد که آیا ریاضی “واقعی” است یا خیر. وی افزود: “من می دانم که واقعی است ، زیرا همه ما آن را در مدرسه یاد می گیریم … اما چه کسی این مفهوم را ارائه کرده است؟” فیثاغورس می گوید ، “حتی لوله کشی هم نداشت-و او می گفت:” اجازه بدهید نگران y = mx + b باشم “-با اشاره به معادله ای که خط مستقیم را در صفحه دو بعدی توصیف می کند. او متعجب بود که این همه از کجا آمده است. او گفت: “من اضافه می کنم ،” اما چگونه می توانید به مفهوم جبر برسید؟ برای چه چیزی به آن نیاز دارید؟ ”

شخصی دوباره این ویدئو را در توییتر ارسال کرد ، جایی که به زودی ویروسی شد. بسیاری از نظرات نامهربان بودند: یک نفر گفت این “احمقانه ترین ویدئویی” است که تا به حال دیده است. دیگران معتقد بودند که این نشان دهنده یک سیستم آموزشی ناموفق است. در همین حال ، دیگران به دفاع از کانینگهام پرداختند و گفتند که سوالات او در واقع عمیق است.

ریاضیدانان کرنل و دانشگاه ویسکانسین ، فیلیپ گاف ، فیلسوف دانشگاه دورهام انگلستان ، ریاضیدان اوژنیا چنگ ، ​​که در حال حاضر دانشمند مقیم انستیتوی هنر شیکاگو است ، پاسخ دو صفحه ای نوشت و گفت: کانینگهام سوالات عمیقی در مورد ماهیت ریاضیات “به روش بسیار عمیق” مورد بررسی قرار داده بود.

کانینگهام ناخواسته یک بحث بسیار قدیمی و حل نشده در فلسفه علم را دوباره شعله ور کرده بود. دقیقاً ریاضی چیست؟ آیا اختراع شده است یا کشف شده است؟ و آیا چیزهایی که ریاضی دانان با آنها کار می کنند – اعداد ، معادلات جبری ، هندسه ، قضایا و غیره – واقعی است؟

برخی از محققان به شدت احساس می کنند که حقایق ریاضی “بیرون” هستند و منتظر کشف هستند – موضعی که به افلاطونی معروف است. نام خود را از افلاطون متفکر یونانی باستان گرفته است ، که تصور می کرد که حقایق ریاضی در دنیایی از خود زندگی می کنند-نه یک جهان فیزیکی ، بلکه یک قلمرو غیر فیزیکی با کمال تغییر ناپذیر است. قلمرویی که خارج از فضا و زمان وجود دارد. راجر پنروز ، فیزیکدان مشهور ریاضی انگلیسی ، افلاطونی سرسخت است. در کتاب The Emperor’s New Mind ، او نوشت که “به نظر می رسد” واقعیتی عمیق در مورد این مفاهیم ریاضی وجود دارد ، که از نظرات ذهنی هر ریاضیدان خاصی فراتر می رود. گویی اندیشه بشری در عوض به سوی حقیقتی بیرونی هدایت می شود – حقیقتی که واقعیت خود را دارد … ”

به نظر می رسد بسیاری از ریاضیدانان از این نظر حمایت می کنند. چیزهایی که آنها در طول قرن ها کشف کرده اند – که بالاترین عدد اول وجود ندارد. که ریشه مربع دو عددی غیر منطقی است. اینکه عدد pi ، وقتی بصورت اعشار بیان می شود ، برای همیشه ادامه می یابد – به نظر می رسد حقیقتهای ابدی هستند ، فارغ از ذهنهایی که آنها را یافته اند. اگر روزی با بیگانگان باهوش از کهکشان دیگر روبرو می شدیم ، آنها زبان یا فرهنگ ما را به اشتراک نمی گذاشتند ، اما ، به عقیده افلاطونی ، آنها به احتمال زیاد همین کشفیات ریاضی را انجام داده اند.

جیمز روبرت براون ، فیلسوف علوم اخیرا از دانشگاه تورنتو بازنشسته شده است. “ریاضیدانان فعال اکثراً افلاطونی هستند. آنها همیشه خود را افلاطونی نمی نامند ، اما اگر از آنها س relevantالات مرتبط بپرسید ، همیشه این پاسخ افلاطونی است که به شما می دهند. ”

محققان دیگر – به ویژه کسانی که در شاخه های دیگر علوم کار می کنند – افلاطونی را با شک و تردید می نگرند. دانشمندان تمایل به تجربه گرایی دارند. آنها تصور می کنند که جهان از چیزهایی تشکیل شده است که می توانیم آنها را لمس کرده و بچشیم و غیره. چیزهایی که می توانیم از طریق مشاهده و آزمایش در مورد آنها بیاموزیم. ایده چیزی که “خارج از فضا و زمان” وجود دارد ، تجربه گرایان را عصبی می کند: به نظر می رسد شرم آور است مانند نحوه صحبت م believersمنان مذهبی در مورد خدا ، و خدا مدتها پیش از گفتمان علمی محترم طرد شده بود.

افلاطونیسم ، همانطور که برایان دیویس ریاضیدان گفته است ، “بیشتر با ادیان عرفانی مشترک است تا با علم مدرن.” ترس این است که اگر ریاضیدانان به افلاطون یک اینچ بدهند ، او یک مایل را طی می کند. اگر می توان حقیقت گزاره های ریاضی را فقط با تفکر در مورد آنها تأیید کرد ، پس چرا مشکلات اخلاقی یا حتی س religiousالات دینی را نه؟ اصلا چرا با تجربه گرایی دست و پنجه نرم می کنید؟

ماسیمو پیلیوچی ، فیلسوف دانشگاه سیتی نیویورک ، در ابتدا جذب افلاطونی شد – اما از آن زمان به بعد آن را مشکل ساز می داند. او می پرسد: اگر چیزی وجود فیزیکی ندارد ، پس چه نوع وجودی می تواند داشته باشد؟ پیلیوچی می نویسد: “اگر کسی با ریاضی” افلاطونی “شود ، تجربیات” از پنجره بیرون می رود “. (اگر اثبات قضیه فیثاغورث خارج از فضا و زمان وجود دارد ، چرا “قانون طلایی” یا حتی الوهیت عیسی مسیح وجود ندارد؟)

افلاطونیست باید با چالش های بیشتری روبرو شود: اگر اشیاء ریاضی خارج از فضا و زمان وجود دارند ، چگونه می توانیم درباره آنها چیزی بدانیم؟ براون پاسخی ندارد ، اما او پیشنهاد می کند که حقیقت گزاره های ریاضی را “با چشم ذهن” درک کنیم – شاید به شیوه ای مشابه که دانشمندان مانند گالیله و اینشتین از طریق “آزمایشات فکری” حقایق فیزیکی را درک کردند. قبل از اینکه آزمایشات واقعی بتواند موضوع را حل کند. یک آزمایش فکری معروف را که توسط گالیله رویای شده بود ، در نظر بگیرید تا مشخص شود آیا یک جسم سنگین سریعتر از یک جسم سبک تر سقوط می کند یا خیر. گالیله تنها با اندیشیدن به این موضوع توانست استنباط کند که اجسام سنگین و سبک باید با سرعت یکسانی سقوط کنند. ترفند تصور این بود که این دو شیء به هم چسبیده اند: آیا سنگین تر ، جسم سبک تر را می کشد تا سبک تر آن سریعتر بیفتد؟ یا آیا سبک تر به عنوان “ترمز” عمل می کند تا سنگین تر را کند کند؟ گالیله معتقد است که تنها راه حلی که منطقی به نظر می رسد این است که اجسام بدون توجه به وزنشان با سرعت یکسان سقوط می کنند. به همین ترتیب ، ریاضیدانان می توانند ثابت کنند که زوایای مثلث تا 180 درجه جمع می شوند یا بزرگترین عدد اول وجود ندارد – و برای شمارش مورد نیاز به مثلث فیزیکی یا سنگریزه ندارند ، فقط یک مغز زیرک به

در همین حال ، براون خاطرنشان می کند ، ما نباید خیلی از ایده انتزاع ها شوکه شویم ، زیرا ما به استفاده از آنها در سایر زمینه های تحقیق عادت کرده ایم. براون می گوید: “من کاملاً متقاعد شده ام که موجودات انتزاعی وجود دارند و آنها فقط فیزیکی نیستند.” “و من فکر می کنم شما برای درک معنای یک تن از مطالب – نه تنها ریاضیات ، بلکه زبان شناسی ، اخلاق – و احتمالا همه چیز ، به واحدهای انتزاعی احتیاج دارید.”

افلاطونی جایگزین های مختلفی دارد. یکی از دیدگاه های رایج این است که ریاضیات فقط مجموعه ای از قوانین است که از مجموعه ای از مفروضات اولیه ساخته شده است – چیزی که ریاضیدانان آن را بدیهیات می نامند. هنگامی که بدیهیات بر سر زبان ها قرار گرفت ، مجموعه وسیعی از استنباط های منطقی دنبال می شود ، هرچند یافتن بسیاری از آنها به طرز وحشیانه ای دشوار است. در این دیدگاه ، ریاضیات بیشتر شبیه یک اختراع به نظر می رسد تا یک کشف. حداقل ، به نظر می رسد یک تلاش بیشتر انسان محور است. یک نسخه افراطی از این دیدگاه ، ریاضی را به چیزی شبیه بازی شطرنج تقلیل می دهد: ما قوانین شطرنج را یادداشت می کنیم و از آن قوانین استراتژی ها و پیامدهای مختلفی پیروی می کند ، اما ما انتظار نداریم که آن اندرومدانی ها شطرنج را به ویژه معنی دار بدانند.

اما این دیدگاه مشکلات خاص خود را دارد. اگر ریاضیات چیزی است که ما از درون خود می بینیم ، چرا باید آنقدر با آنچه در طبیعت مشاهده می کنیم مطابقت داشته باشد؟ چرا یک واکنش زنجیره ای در فیزیک هسته ای یا افزایش جمعیت در زیست شناسی باید از یک منحنی نمایی پیروی کند؟ چرا مدار سیارات شبیه بیضی شکل است؟ چرا دنباله فیبوناچی در الگوهایی که در گل های آفتابگردان ، حلزون ها ، طوفان ها و کهکشان های مارپیچی دیده می شود نمایان می شود؟ چرا ، به طور خلاصه ، ریاضیات در توصیف جهان فیزیکی بسیار سرسام آور بوده است؟ یوجین واینر ، فیزیکدان نظری ، این موضوع را در مقاله معروف 1960 با عنوان “اثر بی دلیل ریاضیات در علوم طبیعی” برجسته کرد. وینر نتیجه گرفت که مفید بودن ریاضیات در حل مسائل فیزیک “هدیه ای فوق العاده است که ما نه آن را درک می کنیم و نه شایسته آن هستیم.”

با این حال ، تعدادی از متفکران مدرن معتقدند که برای معضل وینگر پاسخی دارند. اگرچه ریاضیات را می توان مجموعه ای از استنباط ها دانست که از مجموعه بدیهیات کوچکی نشأت می گیرد ، اما آنها معتقدند که این بدیهیات بر اساس میل خود انتخاب نشده اند. بلکه آنها به همین دلیل انتخاب شده اند که به نظر می رسد ارتباطی با دنیای فیزیکی دارند. همانطور که پیلیوچی می گوید: “بهترین پاسخی که می توانم [برای سوال واینر] ارائه دهم این است که این” اثر بی دلیل “در واقع بسیار منطقی است ، زیرا ریاضیات در واقع به دنیای واقعی متصل است و از ابتدا چنین بوده است.”

کارلو روولی ، فیزیکدان نظری در دانشگاه اکس مارسی در فرانسه ، به مثال هندسه اقلیدسی اشاره می کند-هندسه فضای مسطح که بسیاری از ما در دبیرستان آموختیم. (دانش آموزانی که می آموزند مثلث متساوی الاضلاع دارای سه زاویه 60 درجه است یا مجموع مربعهای دو ضلع کوتاهتر مثلث قائم الزاویه برابر است با مربع دوپایه (یعنی قضیه فیثاغورس)-در حال انجام هندسه اقلیدسی هستند. روللی می گوید: ممکن است یک افلاطونی استدلال کند که یافته های هندسه اقلیدسی “جهانی” به نظر می رسد ، اما چنین چیزی نیست. او می گوید: “فقط به این دلیل که ما در مکانی زندگی می کنیم که به طور عجیب مسطح است ، این ایده از هندسه اقلیدسی به عنوان یک” امر طبیعی “که همه باید انجام دهند به ذهن ما رسید.” “اگر زمین کمی کوچکتر بود ، به طوری که انحنای زمین را می دیدیم ، هرگز هندسه اقلیدسی را توسعه نمی دادیم. به یاد داشته باشید “هندسه” به معنی “اندازه گیری زمین” است و زمین گرد است. ما به جای آن هندسه کروی را توسعه می دادیم. ”

روولی پا را فراتر می گذارد و جهانی بودن اعداد طبیعی را زیر سال می برد: 1 ، 2 ، 3 ، 4 … برای اکثر ما و قطعاً برای افلاطونی ، اعداد طبیعی طبیعی به نظر می رسند. اگر ما با آن بیگانگان هوشمند ملاقات می کردیم ، آنها دقیقاً می دانستند که منظور ما از گفتن 2 + 2 = 4 (هنگامی که این عبارت به زبان آنها ترجمه شد) دقیقاً می دانستند. روولی می گوید نه چندان سریع. او می گوید: “شمارش فقط در جایی وجود دارد که شما سنگ ، درخت ، مردم – چیزهای شخصی و قابل شمارش” را داشته باشید. “چرا باید از ریاضیات سیالات اساسی تر باشد؟” به گفته روولی ، اگر موجودات باهوشی در مثلاً ابرهای جو مشتری زندگی می کردند ، ممکن است هیچ گونه شهودی برای شمارش یا اعداد طبیعی نداشته باشند. احتمالاً ما می توانیم آنها را در مورد اعداد طبیعی – همانطور که می توانیم قوانین شطرنج را به آنها بیاموزیم – بیاموزیم ، اما اگر روولی درست می گوید ، نشان می دهد که این شاخه از ریاضیات به آن اندازه ای که افلاطونی ها تصور می کنند ، جهانی نیست.

رولی نیز مانند پیلیوچی معتقد است که ریاضی “کار می کند” زیرا ما آن را به دلیل مفید بودن آن طراحی کرده ایم. او می گوید: “این مانند این است که بپرسیم چرا چکش برای ضربه زدن به میخ بسیار خوب عمل می کند.” “به این دلیل است که ما آن را برای این منظور ساخته ایم.”

روولی می گوید ، در واقع ، ادعای واینر مبنی بر اینکه ریاضیات برای انجام علم بسیار مفید است ، تا حدی قابل بررسی نیست. او استدلال می کند که بسیاری از کشفیات انجام شده توسط ریاضیدانان هیچ ارتباطی برای دانشمندان ندارند. او می گوید: “مقدار زیادی ریاضیات وجود دارد که برای ریاضیدانان بسیار زیبا است ، اما برای علم کاملاً بی فایده است.” “و بسیاری از مشکلات علمی – مانند آشفتگی ، برای مثال – وجود دارد که همه دوست دارند ریاضیات مفیدی برای آنها بیابند ، اما ما آن را پیدا نکرده ایم.”

مری لنگ ، فیلسوف دانشگاه یورک ، در انگلستان ، نظر مشابهی دارد. او خود را “داستانی خیالی” توصیف می کند – او اشیاء ریاضی را داستانهای مفید می داند ، شبیه شخصیت های یک داستان یا یک رمان. “به یک معنا ، آنها موجوداتی از مخلوق ما هستند ، مانند شرلوک هلمز.”

اما یک تفاوت اساسی بین کار ریاضی دان و کار رمان نویس وجود دارد: ریاضیات ریشه در مفاهیمی مانند هندسه و اندازه گیری دارد که بسیار با جهان فیزیکی گره خورده اند. درست است ، برخی از چیزهایی که ریاضیدانان امروزی کشف می کنند در نهایت باطنی هستند ، اما در نهایت ، ریاضیات و علوم به دنبال فعالیت های نزدیکی هستند ، لنگ می گوید. از آنجا که [ریاضی] به عنوان ابزاری برای کمک به علوم اختراع شده است ، تعجب آور نیست که در واقع در علوم مفید باشد. ”

با توجه به اینکه این سوالات در مورد ماهیت ریاضیات مورد بحث غالباً در حدود 2300 سال بوده است ، بعید است که آنها به این زودی ها از بین بروند. بنابراین ، جای تعجب نیست که دانش آموزان دبیرستانی مانند کانینگهام ممکن است برای بررسی آنها نیز مکث کنند ، زیرا در مورد قضیه فیثاغورث ، هندسه مثلث ها و معادلات توصیف کننده خطوط و منحنی ها تأمل می کنند. س Theالاتی که وی در ویدئوی خود مطرح کرد اصلاً احمقانه نبود ، اما کاملاً زیرکانه بود: ریاضیدانان و فیلسوفان هزاران سال است که از موارد غیرقابل تصور می پرسند.