سیستم دینامیکی

جذب کننده لورنز در مطالعه نوسانگر لورنز ، یک سیستم دینامیکی به وجود می آید.

در ریاضیات ، سیستم دینامیکی سیستمی است که در آن یک تابع وابستگی زمانی یک نقطه در فضای محیطی را توصیف می کند . به عنوان مثال می توان به مدل های ریاضی اشاره کرد که تاب خوردن آونگ ساعت ، جریان آب در یک لوله و تعداد ماهی ها در هر فصل بهار در دریاچه را توصیف می کند. کلی‌ترین تعریف، چندین مفهوم را در ریاضیات مانند معادلات دیفرانسیل معمولی و نظریه ارگودیک با اجازه دادن به انتخاب‌های مختلف فضا و نحوه اندازه‌گیری زمان، متحد می‌کند. زمان را می توان با اعداد صحیح اندازه گیری کرداعداد حقیقی یا مختلط یا می‌توانند یک شی جبری کلی‌تر باشند که حافظه منشأ فیزیکی خود را از دست می‌دهند و فضا ممکن است یک منیفولد یا صرفاً یک مجموعه باشد ، بدون نیاز به ساختار فضا-زمان صافی که روی آن تعریف شده باشد.

در هر زمان معین، یک سیستم دینامیکی حالتی دارد که نشان دهنده یک نقطه در فضای حالت مناسب است . این حالت اغلب با چند اعداد حقیقی یا بردار در یک منیفولد هندسی داده می شود. قانون تکامل سیستم دینامیکی تابعی است که توصیف می کند که وضعیت های آینده از وضعیت فعلی چه چیزی را دنبال می کنند. اغلب تابع قطعی است، یعنی برای یک بازه زمانی معین فقط یک حالت آینده از حالت فعلی تبعیت می کند. ^[1]^[2] با این حال، برخی از سیستم‌ها تصادفی هستند ، زیرا رویدادهای تصادفی نیز بر تکامل متغیرهای حالت تأثیر می‌گذارند.

در فیزیک ، یک سیستم دینامیکی به عنوان “ذره یا مجموعه ای از ذرات که حالت آنها در طول زمان تغییر می کند و بنابراین از معادلات دیفرانسیل مشتقات زمان تبعیت می کند” توصیف می شود. ^[3] به منظور پیش بینی در مورد رفتار آینده سیستم، حل تحلیلی این معادلات یا ادغام آنها در طول زمان از طریق شبیه سازی کامپیوتری محقق می شود.

مطالعه سیستم‌های دینامیکی تمرکز نظریه سیستم‌های دینامیکی است که در زمینه‌های مختلفی مانند ریاضیات، فیزیک، ^[4]^[5] زیست‌شناسی ، ^[6] شیمی ، مهندسی ، ^[7] اقتصاد ، ^{[8] کاربرد دارد. ]} تاریخ و پزشکی . سیستم‌های دینامیکی بخش اساسی نظریه آشوب ، دینامیک نقشه لجستیک ، نظریه دوشاخه ، فرآیندهای خودآرایی و خودسازماندهی و لبه مفهوم آشوب هستند.

نمای کلی

مفهوم سیستم دینامیکی ریشه در مکانیک نیوتنی دارد. در آنجا، مانند سایر رشته‌های علوم طبیعی و مهندسی، قانون تکامل سیستم‌های دینامیکی یک رابطه ضمنی است که وضعیت سیستم را تنها برای مدت کوتاهی در آینده نشان می‌دهد. (این رابطه یا یک معادله دیفرانسیل ، معادله تفاوت یا مقیاس زمانی دیگر است .) برای تعیین وضعیت برای همه زمان‌های آینده نیاز به تکرار رابطه چندین بار است – هر زمان یک گام کوچک پیش می‌رود. روش تکرار به حل سیستم یا یکپارچه سازی سیستم گفته می شود. اگر سیستم قابل حل باشد، با توجه به یک نقطه اولیه، می توان تمام موقعیت های آینده آن را تعیین کرد، مجموعه ای از نقاط که به عنوان مسیر یا مدار شناخته می شوند.

قبل از ظهور رایانه‌ها ، یافتن یک مدار به تکنیک‌های ریاضی پیچیده نیاز داشت و فقط برای دسته کوچکی از سیستم‌های دینامیکی قابل انجام بود. روش‌های عددی اجرا شده بر روی ماشین‌های محاسباتی الکترونیکی، کار تعیین مدارهای یک سیستم دینامیکی را ساده کرده‌اند.

برای سیستم‌های دینامیکی ساده، دانستن مسیر اغلب کافی است، اما بیشتر سیستم‌های دینامیکی آن‌قدر پیچیده هستند که نمی‌توان آن‌ها را از نظر مسیرهای منفرد درک کرد. مشکلات به این دلیل به وجود می آیند که:

سیستم های مورد مطالعه ممکن است فقط تقریباً شناخته شوند – ممکن است پارامترهای سیستم به طور دقیق شناخته نشده باشند یا ممکن است اصطلاحات در معادلات گم شده باشند. تقریب های مورد استفاده اعتبار یا ارتباط راه حل های عددی را زیر سوال می برد. برای پرداختن به این سوالات چندین مفهوم از پایداری در مطالعه سیستم های دینامیکی معرفی شده است، مانند پایداری لیاپانوف یا پایداری سازه . پایداری سیستم دینامیکی نشان می‌دهد که کلاسی از مدل‌ها یا شرایط اولیه وجود دارد که مسیرها برای آن‌ها معادل هستند. عملیات مقایسه مدارها برای تعیین هم ارزی آنها با مفاهیم مختلف پایداری تغییر می کند.
نوع مسیر ممکن است مهمتر از یک مسیر خاص باشد. برخی از مسیرها ممکن است دوره ای باشند، در حالی که برخی دیگر ممکن است در بسیاری از حالات مختلف سیستم سرگردان باشند. برنامه های کاربردی اغلب نیاز به شمارش این کلاس ها یا حفظ سیستم در یک کلاس دارند. طبقه بندی تمام مسیرهای ممکن منجر به مطالعه کیفی سیستم های دینامیکی شده است، یعنی ویژگی هایی که تحت تغییرات مختصات تغییر نمی کنند. سیستم‌ها و سیستم‌های دینامیکی خطی که دارای دو عدد برای توصیف وضعیت هستند، نمونه‌هایی از سیستم‌های دینامیکی هستند که در آن کلاس‌های ممکن مدارها درک می‌شوند.
رفتار مسیرها به عنوان تابعی از یک پارامتر ممکن است چیزی باشد که برای یک برنامه مورد نیاز است. از آنجایی که یک پارامتر متغیر است، سیستم های دینامیکی ممکن است نقاط انشعاب داشته باشند که در آن رفتار کیفی سیستم دینامیکی تغییر می کند. برای مثال، ممکن است از داشتن حرکات تناوبی به رفتار ظاهراً نامنظم تبدیل شود، مانند انتقال به تلاطم یک سیال .
مسیرهای سیستم ممکن است نامنظم به نظر برسند، گویی تصادفی. در این موارد ممکن است لازم باشد میانگین ها را با استفاده از یک مسیر بسیار طولانی یا چندین مسیر مختلف محاسبه کنیم. میانگین ها به خوبی برای سیستم های ارگودیک تعریف شده اند و درک دقیق تری برای سیستم های هذلولی به دست آمده است . درک جنبه های احتمالی سیستم های دینامیکی به ایجاد پایه های مکانیک آماری و آشوب کمک کرده است.

تاریخچه

بسیاری از مردم، هانری پوانکاره ، ریاضیدان فرانسوی را بنیانگذار سیستم های دینامیکی می دانند. ^[9] پوانکاره دو تک نگاری کلاسیک را منتشر کرد، “روش های جدید مکانیک سماوی” (1892-1899) و “سخنرانی در مورد مکانیک سماوی” (1905-1910). در آنها، او با موفقیت نتایج تحقیقات خود را برای مسئله حرکت سه جسم به کار برد و رفتار راه حل ها (فرکانس، پایداری، مجانبی و غیره) را به طور دقیق مورد مطالعه قرار داد. این مقالات شامل قضیه عود پوانکاره بود، که بیان می‌کند که سیستم‌های خاصی، پس از یک زمان کافی طولانی اما محدود، به حالت بسیار نزدیک به حالت اولیه باز می‌گردند.

الکساندر لیاپانوف بسیاری از روشهای تقریب مهم را توسعه داد. روش‌های او که در سال 1899 توسعه داد، تعریف پایداری مجموعه‌های معادلات دیفرانسیل معمولی را ممکن می‌سازد. او نظریه مدرن پایداری یک سیستم دینامیکی را ایجاد کرد.

در سال 1913، جورج دیوید بیرخوف ” آخرین قضیه هندسی ” پوانکاره را اثبات کرد ، یک مورد خاص از مسئله سه جسم ، نتیجه ای که او را به شهرت جهانی رساند. در سال 1927، او سیستم های پویا خود را منتشر کرد . بادوام ترین نتیجه بیرخوف در سال 1931 کشف چیزی بود که اکنون قضیه ارگودیک نامیده می شود . این قضیه با ترکیب بینش‌های فیزیک در مورد فرضیه ارگودیک با نظریه اندازه‌گیری ، حداقل در اصل یک مشکل اساسی مکانیک آماری را حل کرد . قضیه ارگودیک برای دینامیک نیز بازتاب داشته است.

استفان اسمیل نیز پیشرفت های چشمگیری داشت. اولین مشارکت او نعل اسبی کوچک بود که تحقیقات قابل توجهی را در سیستم های دینامیکی آغاز کرد. او همچنین یک برنامه تحقیقاتی که توسط بسیاری دیگر انجام شده است را تشریح کرد.

اولکساندر میکولایوویچ شارکوفسکی قضیه شارکوفسکی را در مورد دوره های سیستم های دینامیکی گسسته در سال 1964 توسعه داد. یکی از پیامدهای قضیه این است که اگر یک سیستم دینامیکی گسسته روی خط واقعی دارای نقطه تناوبی از دوره 3 باشد، پس باید نقاط تناوبی از هر یک را داشته باشد. دوره دیگر

در اواخر قرن بیستم، دیدگاه سیستم دینامیکی به معادلات دیفرانسیل جزئی محبوبیت پیدا کرد. مهندس مکانیک فلسطینی علی ح. نایفه دینامیک غیرخطی را در سیستم های مکانیک و مهندسی به کار برد. ^[10] کار پیشگام او در دینامیک غیرخطی کاربردی در ساخت و نگهداری ماشین‌ها و سازه‌هایی که در زندگی روزمره رایج هستند، مانند کشتی‌ها ، جرثقیل‌ها ، پل‌ها ، ساختمان‌ها ، آسمان‌خراش‌ها ، موتورهای جت ، موتورهای موشک ، تأثیرگذار بوده است.، هواپیما و فضاپیما . ^[11]

تعریف رسمی

در کلی‌ترین مفهوم، ^[12]^[13] یک سیستم دینامیکی یک تاپل است ( T ، X ، Φ) که در آن T یک مونوئید است ، به صورت افزودنی نوشته می‌شود، X یک مجموعه غیر خالی و Φ یک تابع است .

\Phi :U\subsetq (T\times X)\to X

با

\mathrm {proj} _{2}(U)=X

(جایی که

\mathrm {proj} _{2}

نقشه طرح دوم است )

و برای هر x در X :

\Phi (0,x)=x

\Phi (t_{2},\Phi (t_{1},x))=\Phi (t_{2}+t_{1},x)،

برای $\,t_{1},\,t_{2}+t_{1}\in I(x)$ و $\ t_{2}\in I(\Phi (t_{1},x))$ ، جایی که مجموعه را تعریف کرده ایم $I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\}$ برای هر x در X

به ویژه در موردی که $U=T\times X$ ما برای هر x در X داریم که $I(x)=T$ و بنابراین که Φ عمل مونوئیدی T را روی X تعریف می کند .

تابع Φ( t , x ) تابع تکامل سیستم دینامیکی نامیده می شود: به هر نقطه x در مجموعه X یک تصویر منحصر به فرد، بسته به متغیر t که پارامتر تکامل نامیده می شود، مرتبط می کند . X فضای فاز یا فضای حالت نامیده می شود ، در حالی که متغیر x حالت اولیه سیستم را نشان می دهد.

ما اغلب می نویسیم

\Phi _{x}(t)\equiv \Phi (t,x)

\Phi ^{t}(x)\equiv \Phi (t,x)

اگر یکی از متغیرها را ثابت در نظر بگیریم.

\Phi _{x}:I(x)\to X

جریان از طریق x و مسیر نمودار آن از طریق x نامیده می شود . مجموعه

\gamma _{x}\equiv \{\Phi (t,x):t\in I(x)\}

مدار از طریق x نامیده می شود . توجه داشته باشید که مدار از طریق x تصویر جریان از طریق x است. زیرمجموعه ای از فضای حالت X ، ف- ثابت نامیده می شود اگر برای همه x در S و همه t در T

\phi (t,x) در S.

بنابراین، به ویژه، اگر S ف- ثابت باشد، $I(x)=T$ برای همه x در S یعنی جریان از طریق x باید برای تمام زمان برای هر عنصر S تعریف شود.

معمولاً دو دسته از تعاریف برای یک سیستم دینامیکی وجود دارد: یکی از معادلات دیفرانسیل معمولی و دارای طعم هندسی است. و دیگری با انگیزه نظریه ارگودیک است و از نظر طعم و مزه اندازه گیری نظری است.

تعریف هندسی [ ویرایش ]

در تعریف هندسی، سیستم دینامیکی تاپل است $\langle {\mathcal {T}},{\mathcal {M}},f\rangle$ . ${\mathcal {T}}$ دامنه زمان است – انتخاب های زیادی وجود دارد، معمولاً واقعی یا اعداد صحیح، که احتمالاً محدود به غیر منفی بودن هستند. ${\mathcal {M}}$ یک منیفولد است ، یعنی به صورت محلی یک فضای باناخ یا فضای اقلیدسی، یا در حالت گسسته یک نمودار است. f یک قانون تکامل t → f ^t (با $t\in {\mathcal {T}}$ ) به طوری که f ^t یک دیفئومورفیسم منیفولد نسبت به خودش است. بنابراین، f یک نگاشت «هموار» از دامنه زمان است ${\mathcal {T}}$ در فضای دیفرمورفیسم های منیفولد به خودش. به عبارت دیگر، f ( t ) یک دیفرمورفیسم است، برای هر بار t در دامنه ${\mathcal {T}}$ .

سیستم دینامیکی واقعی [ ویرایش ]

یک سیستم دینامیکی واقعی ، سیستم دینامیکی بلادرنگ، سیستم دینامیکی زمان پیوسته یا جریان یک تاپل ( T ، M ، Φ) با T یک بازه باز در اعداد واقعی R ، M یک منیفولد به صورت محلی متفاوت به فضای Banach است ، و Φ تابع پیوسته . اگر Φ به طور پیوسته قابل تمایز باشد، می گوییم سیستم یک سیستم دینامیکی متمایزپذیر است . اگر منیفولد Mبه صورت محلی به Rn دیفرومورفیک است ، ^سیستم دینامیکی بعد محدود است . اگر نه، سیستم دینامیکی بی‌بعدی است . توجه داشته باشید که این ساختار ساده ای را فرض نمی کند . هنگامی که T به عنوان واقعی در نظر گرفته شود، سیستم دینامیکی جهانی یا جریان نامیده می شود . و اگر T به واقعیات غیر منفی محدود شود، سیستم دینامیکی یک نیمه جریان است.

سیستم دینامیکی گسسته

یک سیستم دینامیکی گسسته ، سیستم دینامیکی زمان گسسته یک تاپلی است ( T ، M ، Φ)، که در آن M یک منیفولد است که به صورت محلی با فضای Banach متفاوت است ، و Φ یک تابع است. وقتی T به عنوان اعداد صحیح در نظر گرفته شود، یک آبشار یا یک نقشه است. اگر T به اعداد صحیح غیر منفی محدود شود، سیستم را نیمه آبشاری می نامیم . ^[14]

اتومات سلولی

یک اتومات سلولی یک تاپل است ( T ، M ، Φ)، با T یک شبکه مانند اعداد صحیح یا یک شبکه اعداد صحیح با ابعاد بالاتر ، M مجموعه ای از توابع از یک شبکه اعداد صحیح (باز هم با یک یا چند بعد) به یک مجموعه محدود، و Φ یک تابع تکامل (محلی تعریف شده). به این ترتیب اتوماتای سلولی سیستم های دینامیکی هستند. شبکه در M نشان دهنده شبکه “فضا” است، در حالی که شبکه T نشان دهنده شبکه “زمان” است.

تعمیم چند بعدی

سیستم های پویا معمولاً بر روی یک متغیر مستقل تعریف می شوند که به عنوان زمان در نظر گرفته می شود. یک کلاس کلی تر از سیستم ها بر روی چندین متغیر مستقل تعریف می شوند و بنابراین سیستم های چند بعدی نامیده می شوند . چنین سیستم هایی برای مدل سازی، به عنوان مثال، پردازش تصویر مفید هستند .

فشرده سازی یک سیستم دینامیکی

با توجه به یک سیستم دینامیکی جهانی ( R ، X ، Φ) در فضای توپولوژیکی X به صورت محلی فشرده و هاسدورف ، مطالعه گسترش پیوسته Φ* از Φ به فشرده سازی یک نقطه ای X* از X اغلب مفید است . اگرچه ساختار دیفرانسیل سیستم اصلی را از دست می دهیم، اکنون می توانیم از آرگومان های فشردگی برای تجزیه و تحلیل سیستم جدید استفاده کنیم ( R ، X* ، Φ*).

در سیستم های دینامیکی فشرده، مجموعه حدی هر مداری غیر خالی ، فشرده و به سادگی متصل است.

اندازه گیری تعریف نظری ممکن است به طور رسمی به عنوان تبدیلی برای حفظ اندازه گیری یک فضای اندازه گیری ، سه گانه ( T ، ( X ، Σ، μ )، Φ) تعریف شود. در اینجا، T یک مونوئید است (معمولا اعداد صحیح غیر منفی)، X یک مجموعه است، و ( X ، Σ، μ ) یک فضای احتمال است ، به این معنی که Σ یک سیگما-جبر روی X است و μ یک اندازه گیری محدود در ( X ، Σ). یک نقشه Φ: X → X می گویند Σ-قابل اندازه گیری است اگر و فقط اگر، برای هر σ در Σ، یکی دارای $\Phi ^{-1}\sigma \in \Sigma$ . یک نقشه Φ گفته می شود که اندازه گیری را حفظ می کند اگر و فقط اگر برای هر σ در Σ، یک اندازه داشته باشد ${\ displaystyle \ mu (\ Phi ^ {- 1} \ sigma) = \ mu (\ sigma)}$ . با ترکیب موارد فوق، یک نقشه Φ به عنوان تبدیلی برای حفظ اندازه گیری X است، اگر نقشه ای از X به خودش باشد، قابل اندازه گیری Σ است و دارای اندازه گیری است. سه گانه ( T ، ( X ، Σ، μ )، Φ)، برای چنین Φ، سپس به عنوان یک سیستم دینامیکی تعریف می شود .

نقشه Φ تکامل زمانی سیستم دینامیکی را نشان می دهد. بنابراین، برای سیستم های دینامیکی گسسته، تکرار می شود $\scriptstyle \Phi ^{n}=\Phi \circ \Phi \circ \ldots \circ \Phi$ برای هر عدد صحیح n مورد مطالعه قرار می گیرد. برای سیستم های دینامیکی پیوسته، نقشه Φ به عنوان یک نقشه تکامل زمان محدود شناخته می شود و ساخت و ساز پیچیده تر است.

ارتباط با تعریف هندسی

تعریف نظری اندازه گیری وجود یک تبدیل حفظ اندازه را فرض می کند. بسیاری از معیارهای تغییرناپذیر مختلف را می توان به هر یک از قوانین تکامل مرتبط دانست. اگر سیستم دینامیکی توسط یک سیستم معادلات دیفرانسیل داده شود، اندازه گیری مناسب باید تعیین شود. این امر توسعه نظریه ارگودیک را با شروع از معادلات دیفرانسیل دشوار می کند، بنابراین داشتن یک تعریف مبتنی بر سیستم های دینامیکی در نظریه ارگودیک راحت می شود که انتخاب اندازه گیری را کنار گذاشته و انتخاب را فرض می کند. یک ساختار ساده (گاهی اوقات قضیه کریلوف-بوگولیوبوف نامیده می شود) نشان می دهد که برای یک کلاس بزرگ از سیستم ها همیشه می توان یک اندازه گیری ساخت تا قانون تکامل سیستم دینامیکی تبدیلی حفظ کننده اندازه گیری شود. در ساخت و ساز، یک اندازه معین از فضای حالت برای تمام نقاط آینده یک مسیر جمع می شود، که از عدم تغییر اطمینان می دهد.

برخی از سیستم‌ها اندازه‌گیری طبیعی دارند، مانند اندازه‌گیری لیوویل در سیستم‌های همیلتونی ، که بیش از سایر معیارهای ثابت انتخاب شده است، مانند معیارهایی که در مدارهای تناوبی سیستم همیلتونی پشتیبانی می‌شوند. برای سیستم‌های پراکنده آشفته ، انتخاب اندازه‌گیری ثابت از نظر فنی چالش‌برانگیزتر است. اندازه باید روی جذب کننده پشتیبانی شود، اما جذب کننده ها دارای معیار Lebesgue صفر هستند و معیارهای ثابت باید با توجه به معیار Lebesgue منفرد باشند. منطقه کوچکی از فضای فاز تحت تکامل زمان کوچک می شود.

برای سیستم‌های دینامیکی هذلولی، به نظر می‌رسد معیارهای Sinai-Ruelle-Bowen انتخاب طبیعی باشد. آنها بر روی ساختار هندسی منیفولدهای پایدار و ناپایدار سیستم دینامیکی ساخته شده اند. آنها تحت اختلالات کوچک از نظر فیزیکی رفتار می کنند. و بسیاری از آمارهای مشاهده شده سیستم های هذلولی را توضیح می دهند.

ساخت سیستم های دینامیکی

مفهوم تکامل در زمان در نظریه سیستم‌های دینامیکی، همانطور که در بخش‌های قبلی دیده شد، مرکزی است: دلیل اصلی این واقعیت این است که انگیزه شروع نظریه، مطالعه رفتار زمانی سیستم‌های مکانیکی کلاسیک بود. اما یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی قبل از تبدیل شدن به یک سیستم پویا باید حل شود. به عنوان مثال یک مشکل مقدار اولیه مانند زیر را در نظر بگیرید:

{\dot {{\boldsymbol {x}}}}={\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})

{\boldsymbol {x}}|_{{{{t=0}}}={\boldsymbol {x}}_{0}

جایی که

$\scriptstyle {{\dot {{\boldsymbol {x}}}}}$ نشان دهنده سرعت نقطه مادی x است
M یک منیفولد با ابعاد محدود است
v : T × M → TM یک میدان برداری در R ⁿ یا C ⁿ است و نشان دهنده تغییر سرعت القا شده توسط نیروهای شناخته شده وارد بر نقطه ماده معین در فضای فاز M است. این تغییر یک بردار در فضای فاز M نیست، بلکه در فضای مماس TM است.

نه نیازی به مشتقات مرتبه بالاتر در معادله وجود دارد و نه به پارامتر t در v ( t ، x )، زیرا با در نظر گرفتن سیستم هایی با ابعاد بالاتر می توان آنها را حذف کرد.

بسته به خواص این میدان برداری، سیستم مکانیکی نامیده می شود

خودمختار ، زمانی که v ( t ، x ) = v ( x )
همگن زمانی که v ( t ، 0 ) = 0 برای همه t

راه حل را می توان با استفاده از تکنیک های استاندارد ODE پیدا کرد و به عنوان تابع تکاملی که قبلاً در بالا معرفی شد نشان داده می شود

{\boldsymbol {{x}}}(t)=\Phi (t،{\boldsymbol {{x}}}_{0})

سپس سیستم دینامیکی ( T ، M ، Φ) است.

برخی از دستکاری های رسمی سیستم معادلات دیفرانسیل که در بالا نشان داده شده است، شکل کلی تری از معادلات به دست می دهد که یک سیستم دینامیکی باید برآورده کند.

{\dot {{\boldsymbol {x}}}}-{\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})=0\qquad \Leftrightarrow \qquad {\mathfrak {{G}}}\ چپ(t,\Phi (t,{\boldsymbol {{x}}}_{0})\راست)=0

جایی که ${\mathfrak {G}}:{{(T\times M)}^{M}}\to \mathbf {C}$ تابعی از مجموعه توابع تکاملی تا میدان اعداد مختلط است.

این معادله هنگام مدل‌سازی سیستم‌های مکانیکی با محدودیت‌های پیچیده مفید است.

بسیاری از مفاهیم در سیستم‌های دینامیکی را می‌توان به منیفولدهای بی‌بعدی – آنهایی که به طور محلی فضاهای Banach هستند – گسترش داد که در این صورت معادلات دیفرانسیل معادلات دیفرانسیل جزئی هستند .

مثالها

سیستم های دینامیکی خطی

سیستم های دینامیکی خطی را می توان از نظر توابع ساده و رفتار همه مدارهای طبقه بندی شده حل کرد. در یک سیستم خطی، فضای فاز، فضای اقلیدسی N بعدی است، بنابراین هر نقطه در فضای فاز را می توان با بردار با N عدد نشان داد. تجزیه و تحلیل سیستم های خطی امکان پذیر است زیرا آنها یک اصل برهم نهی را برآورده می کنند : اگر u ( t ) و w ( t ) معادله دیفرانسیل میدان برداری (اما نه لزوماً شرط اولیه) را برآورده کنند، سپس u ( t ) + w نیز چنین خواهد بود. ( ت ).

جریانات

برای یک جریان ، میدان برداری v( x ) تابعی از موقعیت در فضای فاز است، یعنی:

{\dot {x}}=v(x)=Ax+b,

با A یک ماتریس، b بردار اعداد و x بردار موقعیت. راه حل این سیستم را می توان با استفاده از اصل برهم نهی (خطی) یافت. حالت b ≠ 0 با A = 0 فقط یک خط مستقیم در جهت b است :

\Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.

وقتی b صفر باشد و A ≠ 0 مبدأ یک نقطه تعادل (یا منفرد) جریان است، یعنی اگر x ₀ = 0 باشد، مدار در آنجا باقی می ماند. برای سایر شرایط اولیه، معادله حرکت با نمایی یک ماتریس به دست می‌آید : برای نقطه اولیه x ₀ ،

\Phi ^{t}(x_{0})=e^{tA}x_{0}.

وقتی b = 0، مقادیر ویژه A ساختار فضای فاز را تعیین می کند. از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه A می توان تعیین کرد که آیا یک نقطه اولیه به نقطه تعادل در مبدأ همگرا یا واگرا می شود.

فاصله بین دو شرط اولیه متفاوت در حالت A ≠ 0 در بیشتر موارد به صورت نمایی تغییر می کند، یا به صورت نمایی سریع به سمت یک نقطه همگرا می شود یا به طور نمایی سریع واگرا می شود. سیستم های خطی در صورت واگرایی، وابستگی حساسی به شرایط اولیه نشان می دهند. برای سیستم های غیر خطی این یکی از شرایط (لازم اما کافی نیست) برای رفتار آشفته است .

میدان های برداری خطی و چند خط سیر.

نقشه ها

یک سیستم دینامیکی با زمان گسسته و وابسته به شکل یک معادله اختلاف ماتریس است :

x_{n+1}=Ax_{n}+b,

با A ماتریس و b بردار. مانند حالت پیوسته، تغییر مختصات x → x + (1 − A ) ^–1b عبارت b را از معادله حذف می کند. در سیستم مختصات جدید مبدأ یک نقطه ثابت نقشه و جواب ها از سیستم خطی A ⁿ x ₀ هستند. راه حل های نقشه دیگر منحنی نیستند، بلکه نقاطی هستند که در فضای فاز پرش می کنند. مدارها در منحنی ها یا الیافی سازماندهی می شوند که مجموعه ای از نقاط هستند که تحت تأثیر نقشه به درون خود نقشه می پردازند.

مانند حالت پیوسته، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه A ساختار فضای فاز را تعیین می کند. برای مثال، اگر u ₁ بردار ویژه A باشد، با مقدار ویژه واقعی کوچکتر از یک، آنگاه خطوط مستقیم داده شده توسط نقاط در امتداد α u ₁ ، با α ∈ R ، منحنی ثابت نقشه است. نقاط این خط مستقیم به نقطه ثابت می رسند.

همچنین بسیاری از سیستم های دینامیکی گسسته دیگر نیز وجود دارد .

پویایی محلی

ویژگی‌های کیفی سیستم‌های دینامیکی تحت یک تغییر هموار مختصات تغییر نمی‌کند (این گاهی اوقات به عنوان تعریف کیفی در نظر گرفته می‌شود): یک نقطه منفرد از میدان برداری (نقطه‌ای که v ( x ) = 0) یک نقطه منفرد باقی می‌ماند. تحت تحولات صاف؛ یک مدار دوره اییک حلقه در فضای فاز است و تغییر شکل های صاف فضای فاز نمی تواند حلقه بودن آن را تغییر دهد. در همسایگی نقاط منفرد و مدارهای تناوبی است که می توان ساختار فضای فاز یک سیستم دینامیکی را به خوبی درک کرد. در مطالعه کیفی سیستم های دینامیکی، رویکرد این است که نشان داده شود که یک تغییر مختصات (معمولاً نامشخص، اما قابل محاسبه) وجود دارد که سیستم دینامیکی را تا حد امکان ساده می کند.

اصلاح

یک جریان در اکثر تکه های کوچک فضای فاز می تواند بسیار ساده باشد. اگر y نقطه ای است که میدان برداری v ( y ) ≠ 0 باشد، در آن صورت مختصات ناحیه ای در اطراف y تغییر می کند که در آن میدان برداری به مجموعه ای از بردارهای موازی با همان قدر تبدیل می شود. این به عنوان قضیه تصحیح شناخته می شود.

قضیه تصحیح می گوید که دور از نقاط منفرد دینامیک یک نقطه در یک تکه کوچک یک خط مستقیم است. وصله گاهی اوقات می‌تواند با دوختن چندین تکه به هم بزرگ شود، و زمانی که این کار در کل فضای فاز M انجام شود، سیستم دینامیکی قابل ادغام است . در بیشتر موارد پچ را نمی توان به کل فضای فاز گسترش داد. ممکن است نقاط منفرد در فیلد برداری وجود داشته باشد (که در آن v ( x) = 0)؛ یا تکه ها ممکن است با نزدیک شدن به نقطه ای کوچکتر و کوچکتر شوند. دلیل ظریف‌تر یک محدودیت جهانی است، جایی که مسیر در یک پچ شروع می‌شود و پس از بازدید از یک سری وصله‌های دیگر به نسخه اصلی باز می‌گردد. اگر دفعه بعد مدار به روش دیگری به دور فضای فاز حلقه بزند، اصلاح میدان برداری در کل سری تکه‌ها غیرممکن است.

نزدیک مدارهای تناوبی

به طور کلی، در همسایگی یک مدار تناوبی نمی توان از قضیه تصحیح استفاده کرد. پوانکاره رویکردی را توسعه داد که تجزیه و تحلیل نزدیک یک مدار دوره ای را به تجزیه و تحلیل یک نقشه تبدیل می کند. یک نقطه x ₀ را در مدار γ انتخاب کنید و نقاطی را در فضای فاز در آن همسایگی که عمود بر v ( x ₀ ) هستند در نظر بگیرید. این نقاط یک بخش پوانکاره S ( γ , x ₀ ) از مدار هستند. این جریان اکنون یک نقشه، نقشه پوانکاره F : S → S را برای نقاطی که از S شروع می‌شوند و به S باز می‌گردند ، تعریف می‌کند.. بازگشت همه این نقاط به یک اندازه طول نمی کشد، اما زمان ها نزدیک به زمانی است که x ₀ طول می کشد .

محل تلاقی مدار تناوبی با مقطع پوانکاره نقطه ثابتی از نقشه پوانکاره F است. با یک ترجمه، نقطه را می توان در x = 0 فرض کرد. سری تیلور نقشه F ( x ) = J · x + O ( x ² ) است، بنابراین می توان انتظار داشت که تغییر مختصات h فقط ساده شود. F به قسمت خطی آن

h^{-1}\circ F\circ h(x)=J\cdot x.

این به عنوان معادله صرف شناخته می شود. یافتن شرایط برای حفظ این معادله یکی از وظایف اصلی تحقیق در سیستم های دینامیکی بوده است. پوانکاره ابتدا با فرض اینکه همه توابع تحلیلی هستند به آن نزدیک شد و در این فرآیند شرایط غیر رزونانسی را کشف کرد. اگر λ ₁ ، …، λ _ν مقادیر ویژه J باشند، اگر یک مقدار ویژه یک ترکیب خطی صحیح از دو یا چند عدد دیگر باشد، تشدید خواهند شد. از آنجایی که شرایط شکل λ _i – Σ (چندین مقادیر ویژه دیگر) در مخرج عبارات تابع h وجود دارد، شرط غیر تشدید نیز به عنوان مسئله مقسوم علیه کوچک شناخته می شود.

نتایج صرف

نتایج مربوط به وجود یک راه حل برای معادله صرف به مقادیر ویژه J و درجه صافی مورد نیاز از h بستگی دارد . از آنجایی که J نیازی به داشتن تقارن خاصی ندارد، مقادیر ویژه آن معمولاً اعداد مختلط خواهند بود. هنگامی که مقادیر ویژه J در دایره واحد نباشد، دینامیک نزدیک نقطه ثابت x ₀ از F را هذلولی و زمانی که مقادیر ویژه روی دایره واحد و مختلط باشد، دینامیک را بیضوی می نامند .

در حالت هذلولی، قضیه هارتمن-گروبمن شرایطی را برای وجود یک تابع پیوسته ارائه می‌کند که همسایگی نقطه ثابت نقشه را با نقشه خطی J · x ترسیم می‌کند. مورد هذلولی نیز از نظر ساختاری پایدار است. تغییرات کوچک در میدان برداری فقط تغییرات کوچکی در نقشه پوانکاره ایجاد می کند و این تغییرات کوچک در تغییرات کوچک در موقعیت مقادیر ویژه J در صفحه مختلط منعکس می شود، که به این معنی است که نقشه هنوز هذلولی است.

قضیه Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM) رفتار نزدیک به یک نقطه بیضوی را نشان می‌دهد.

نظریه انشعاب

هنگامی که نقشه تکامل Φ ^t (یا میدان برداری که از آن مشتق شده است) به پارامتر μ بستگی دارد، ساختار فضای فاز نیز به این پارامتر بستگی دارد. تغییرات کوچک ممکن است هیچ تغییر کیفی در فضای فاز ایجاد نکند تا زمانی که یک مقدار ویژه μ ₀ حاصل شود. در این مرحله فضای فاز به طور کیفی تغییر می کند و گفته می شود که سیستم دینامیکی از یک انشعاب عبور کرده است.

نظریه انشعاب ساختاری را در فضای فاز (معمولاً یک نقطه ثابت ، یک مدار تناوبی یا یک چنبره ثابت ) در نظر می‌گیرد و رفتار آن را تابعی از پارامتر μ مطالعه می‌کند. در نقطه انشعاب، سازه ممکن است پایداری خود را تغییر دهد، به ساختارهای جدید تقسیم شود یا با ساختارهای دیگر ادغام شود. با استفاده از تقریب‌های سری تیلور از نقشه‌ها و درک تفاوت‌هایی که ممکن است با تغییر مختصات حذف شوند، می‌توان انشعاب‌های سیستم‌های دینامیکی را فهرست‌بندی کرد.

انشعاب های یک نقطه ثابت هذلولی x ₀ از یک خانواده سیستم F _μ را می توان با _مقادیرویژه اولین مشتق سیستم DF _μ ( x0 ) محاسبه شده در نقطه انشعاب مشخص کرد. برای یک نقشه، انشعاب زمانی رخ می دهد که مقادیر ویژه DF _μ روی دایره واحد وجود داشته باشد. برای یک جریان، زمانی رخ می دهد که مقادیر ویژه روی محور خیالی وجود داشته باشد. برای اطلاعات بیشتر، مقاله اصلی در نظریه انشعاب را ببینید.

برخی انشعاب ها می توانند به ساختارهای بسیار پیچیده در فضای فاز منجر شوند. برای مثال، سناریوی Ruelle–Takens توضیح می‌دهد که چگونه یک مدار تناوبی به یک چنبره و چنبره به یک جاذبه عجیب و غریب تقسیم می‌شود . در مثالی دیگر، دوره مضاعف شدن فایگنباوم توضیح می‌دهد که چگونه یک مدار تناوبی پایدار از طریق یک سری انشعاب‌های دوره‌ای دوبرابر می‌گذرد .

سیستم های ارگودیک [ ویرایش ]

در بسیاری از سیستم‌های دینامیکی، می‌توان مختصات سیستم را طوری انتخاب کرد که حجم (واقعاً یک حجم ν بعدی) در فضای فاز ثابت باشد. تا زمانی که مختصات موقعیت و تکانه باشد و حجم بر حسب واحد (موقعیت) × (تکانه) اندازه گیری شود، این اتفاق برای سیستم های مکانیکی برگرفته از قوانین نیوتن می افتد. جریان نقاط زیر مجموعه A را به نقاط Φ ^t ( A ) می برد و تغییرناپذیری فضای فاز به این معنی است که

display \ displaystyle \ mathrm {vol} (A) = \ mathrm {vol} (\ Phi ^ {t} (A)).

در فرمالیسم همیلتونی ، با توجه به یک مختصات، می‌توان تکانه مناسب (تعمیم‌یافته) را به‌گونه‌ای استخراج کرد که حجم مرتبط توسط جریان حفظ شود. گفته می شود که حجم با اندازه گیری لیوویل محاسبه می شود.

در یک سیستم همیلتونی، نمی توان از یک شرایط اولیه به همه تنظیمات ممکن موقعیت و تکانه دست یافت. به دلیل بقای انرژی، فقط حالت هایی با انرژی مشابه شرایط اولیه قابل دسترسی هستند. حالت هایی با انرژی یکسان یک پوسته انرژی Ω را تشکیل می دهند که یک منیفولد فرعی از فضای فاز است. حجم پوسته انرژی، محاسبه شده با استفاده از اندازه گیری لیوویل، تحت تکامل حفظ می شود.

برای سیستم هایی که حجم توسط جریان حفظ می شود، پوانکاره قضیه بازگشت را کشف کرد : فرض کنید فضای فاز دارای حجم لیوویل محدود است و اجازه دهید F یک نقشه فضای فاز حفظ حجم و A زیر مجموعه ای از فضای فاز باشد. سپس تقریباً هر نقطه از A بی نهایت به A باز می گردد . قضیه عود پوانکاره توسط زرملو برای اعتراض به اشتقاق بولتزمن از افزایش آنتروپی در یک سیستم دینامیکی از اتم های در حال برخورد استفاده شد.

یکی از سوالات مطرح شده توسط بولتزمن، برابری احتمالی بین میانگین‌های زمانی و میانگین‌های مکانی بود، چیزی که او آن را فرضیه ارگودیک نامید . این فرضیه بیان می کند که مدت زمانی که یک مسیر معمولی در منطقه A سپری می کند vol( A )/vol(Ω) است.

معلوم شد که فرضیه ارگودیک خاصیت ضروری مورد نیاز برای توسعه مکانیک آماری نیست و یک سری ویژگی‌های مشابه ارگودیک برای به تصویر کشیدن جنبه‌های مرتبط سیستم‌های فیزیکی معرفی شدند. کوپمن با استفاده از تحلیل عملکردی به مطالعه سیستم های ارگودیک پرداخت. a قابل مشاهده تابعی است که به هر نقطه از فضای فاز یک عدد (مثلا فشار لحظه یا ارتفاع متوسط) مرتبط می کند. مقدار یک قابل مشاهده را می توان در زمان دیگری با استفاده از تابع تکامل φ ^t محاسبه کرد. این یک اپراتور U ^t را معرفی می کند ، اپراتور انتقال ،

(U^{t}a)(x)=a(\Phi ^{-t}(x)).

با مطالعه خواص طیفی عملگر خطی U ، طبقه بندی خواص ارگودی ف ^t امکان پذیر می شود . در استفاده از رویکرد کوپمن برای در نظر گرفتن عمل جریان بر روی یک تابع قابل مشاهده، مسئله غیرخطی محدود بعدی شامل Φ ^t به یک مسئله خطی بی‌بعدی شامل U نگاشت می‌شود .

اندازه گیری لیوویل محدود به سطح انرژی Ω مبنایی برای میانگین های محاسبه شده در مکانیک آماری تعادل است . میانگین زمان در طول یک مسیر معادل میانگین در فضا است که با ضریب بولتزمن exp(-β H ) محاسبه می شود. این ایده توسط Sinai، Bowen و Ruelle (SRB) به یک کلاس بزرگتر از سیستم های دینامیکی که شامل سیستم های اتلاف کننده است، تعمیم داده شده است. معیارهای SRB جایگزین عامل بولتزمن می‌شوند و بر روی جاذبه‌های سیستم‌های آشفته تعریف می‌شوند.

سیستم های دینامیکی غیرخطی و آشوب

سیستم‌های دینامیکی غیرخطی ساده و حتی سیستم‌های خطی تکه‌ای می‌توانند رفتاری کاملاً غیرقابل پیش‌بینی از خود نشان دهند، که ممکن است تصادفی به نظر برسد، علی‌رغم این واقعیت که اساساً قطعی هستند. این رفتار به ظاهر غیرقابل پیش بینی آشوب نامیده شده است . سیستم های هایپربولیک سیستم های دینامیکی دقیقاً تعریف شده ای هستند که ویژگی های نسبت داده شده به سیستم های آشفته را نشان می دهند. در سیستم های هذلولی، فضای مماس عمود بر یک مسیر را می توان به خوبی به دو قسمت تقسیم کرد: یکی با نقاطی که به سمت مدار همگرا می شوند ( منیفولد پایدار ) و دیگری از نقاطی که از مدار منحرف می شوند ( منیفولد ناپایدار ).

این شاخه از ریاضیات به رفتار کیفی بلند مدت سیستم های دینامیکی می پردازد. در اینجا، تمرکز بر یافتن راه‌حل‌های دقیق برای معادلات تعریف‌کننده سیستم دینامیکی نیست (که اغلب ناامیدکننده است)، بلکه بیشتر برای پاسخ به سؤالاتی مانند «آیا سیستم در بلندمدت به حالت ثابت می‌رسد، و اگر چنین است، چه چیزی آیا جاذبه های احتمالی وجود دارد ؟ یا “آیا رفتار بلند مدت سیستم به شرایط اولیه آن بستگی دارد؟”

توجه داشته باشید که رفتار آشفته سیستم های پیچیده موضوعی نیست. سال هاست که هواشناسی شامل رفتارهای پیچیده و حتی آشفته می شود. نظریه آشوب بسیار شگفت‌انگیز بوده است، زیرا هرج و مرج را می‌توان در سیستم‌های تقریباً بی‌اهمیت یافت. نقشه لجستیک فقط یک چند جمله ای درجه دوم است. نقشه نعل اسب به صورت تکه ای خطی است.

راه حل های مدت زمان محدود

برای ODEهای مستقل غیرخطی، تحت برخی شرایط ممکن است راه حل هایی با مدت زمان محدود ایجاد شود، ^[15] به این معنی که در اینجا از دینامیک خود، سیستم در زمان پایان به مقدار صفر می رسد و برای همیشه در آن صفر می ماند. این راه حل های مدت زمان محدود نمی توانند توابع تحلیلی در کل خط واقعی باشند، و چون در زمان پایان خود توابعی غیر لیپسشیتز خواهند بود، منحصر به فرد بودن جواب های معادلات دیفرانسیل لیپشیتز را تحمل نمی کنند.

به عنوان مثال، معادله:

y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}}،\,\,y(0)=1

راه حل مدت زمان محدود را می پذیرد:

y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\ راست|\راست)^{2}

همچنین مشاهده کنید

منابع

^ استروگاتز، SH (2001). دینامیک غیرخطی و آشوب: با کاربرد در فیزیک، زیست شناسی و شیمی . پرسئوس
^ کاتوک، ا. Hasselblatt، B. (1995). مقدمه ای بر نظریه مدرن سیستم های دینامیکی . کمبریج: انتشارات دانشگاه کمبریج. شابک 978-0-521-34187-5.
↑ «طبیعت» . Springer Nature . بازبینی شده در 17 فوریه 2017 .
^ ملبی، پ. و همکاران (2005). “دینامیک سیستم های خودتنظیم با نویز”. آشوب: مجله بین رشته ای علوم غیرخطی . 15 (3): 033902. Bibcode : 2005Chaos..15c3902M . doi : 10.1063/1.1953147 . PMID 16252993 .
^ گینتاوتاس، وی. و همکاران (2008). “اجبار رزونانس درجات آزادی انتخابی پویایی نقشه آشفته چند بعدی”. J. Stat. فیزیک . 130 . arXiv : 0705.0311 . Bibcode : 2008JSP…130..617G . doi : 10.1007/s10955-007-9444-4 . S2CID 8677631 .
^ جکسون، تی. Radunskaya، A. (2015). کاربردهای سیستم های پویا در زیست شناسی و پزشکی . اسپرینگر.
↑ کریزیگ، اروین (2011). ریاضیات مهندسی پیشرفته . هوبوکن: وایلی. شابک 978-0-470-64613-7.
↑ گاندولفو، جیانکارلو (2009) [1971]. پویایی اقتصادی: روش ها و مدل ها (ویرایش چهارم). برلین: اسپرینگر. شابک 978-3-642-13503-3.
^ هلمز، فیلیپ. “پوانکاره، مکانیک آسمانی، نظریه سیستم های دینامیکی و “آشوب”.” گزارش های فیزیک 193.3 (1990): 137-163.
↑ رگا، جوزپه (2019). ادای احترام به علی ح. نایفه (1933-2017)». سمپوزیوم IUTAM در مورد بهره برداری از دینامیک غیرخطی برای سیستم های مهندسی . اسپرینگر _ ص 1-2. شابک 9783030236922.
↑ «علی حسن نایفه» . جوایز موسسه فرانکلین موسسه فرانکلین 4 فوریه 2014 . بازبینی شده در 25 اوت 2019 .
↑ Giunti M. و Mazzola C. (2012)، “ سیستم های دینامیکی روی مونوئیدها: به سوی یک نظریه کلی از سیستم ها و حرکت قطعی “. در Minati G., Abram M., Pessa E. (eds.), Methods, Models, Simulations and رویکردهایی به سوی نظریه کلی تغییر , صص 173-185, سنگاپور: علمی جهانی. شابک 978-981-4383-32-5
↑ Mazzola C. and Giunti M. (2012)، “ دینامیک برگشت پذیر و جهت گیری زمان “. در Minati G., Abram M., Pessa E. (eds.), Methods, Models, Simulations and رویکردهایی به سوی نظریه کلی تغییر , صص 161-171, سنگاپور: علمی جهانی. شابک 978-981-4383-32-5 .
↑ گالور، اودد (2010). سیستم های دینامیکی گسسته اسپرینگر.
↑ واردیا تی هایمو (1985). “معادلات دیفرانسیل زمان محدود” . doi : 10.1109/CDC.1985.268832 .

آرنولد، ولادیمیر I. (2006). “مفاهیم اساسی”. معادلات دیفرانسیل معمولی . برلین: Springer Verlag. شابک 3-540-34563-9.
چوشوف، آی دی مقدمه ای بر تئوری سیستم های اتلاف بی نهایت بعدی .نسخه آنلاین نسخه اول در سایت EMIS [1] .
تیمام، راجر (1997) [1988]. سیستم های دینامیکی بینهایت بعدی در مکانیک و فیزیک . Springer Verlag.

پویا - داینامیک

سیستم دینامیکی

فهرست

نمای کلی

تاریخچه